Sciences

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Message par Lyr le Dim 15 Jan - 12:40:57

Venez parler ici de sciences ! Partageons nos savoirs et nos réflexions.
Je prends le mot de sciences au sens large. Que ce soit des de la biologie, de la chimie, de la géologie, de la physique, des mathématiques, de l'informatique... voire même des sciences sociales, de l'histoire, et autres !


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Re: Sciences

Message par Lyr le Dim 15 Jan - 12:42:05

Je commence ce topic par vous parler un peu de la Fonction Zêta de Riemann.

Zêta de Riemann:
Zêta c'est cette lettre grecque : ζ
Riemann c'est un mathématicien.

Je vous parlerai donc un peu de cette fonction. J'indiquerai à chaque fois quel niveau de mathématiques est nécessaire pour comprendre chaque étape. Bon ça restera approximatif, mais en gros je mettrai le niveau d'études où j'ai appris ça. Donc ça sera selon le programme français déjà. Et pour les études supérieures, je ne connais que les programmes de MPSI/MP, mais je pense que ça doit être à peu près pareil pour les autres prépas scientifiques, mais pour les facs de sciences ou autres encore je ne sais pas. J'ai essayé de rendre abordable ce sujet (sauf vers la fin) donc si vous faites déjà des maths et que vous savez déjà tout tant pis.

Un niveau de collège sera donc prérequis pour savoir ce que c'est une fonction, ce que c'est des puissances. (Et normalement tout le monde connait les sommes j'espère.)

Ah et il y aura des grosses lettres bizarres appelées "sigma majuscules" à certains moments. Ignorez les si vous ne les connaissiez pas, c'est juste une notation.

En quoi consiste cette fonction ? Et bien tout simplement à sommer les puissances des entiers naturels.

Voilà, ζ(s) associe à s la somme des entiers pris chacun à la puissance -s.
Et où on s'arrête dans la somme alors ? Et bien à l'infini... Et oui la fonction ζ est une somme infinie ! Evidemment une somme infinie, on ne peut pas définir ça comme ça pouf. Mais on y reviendra.

Déjà c'est quoi s ?
En finissant une formation de collège, je pense que vous savez qu'on peut mettre un nombre entier en puissance de n'importe quel autre nombre. 5^4 = 5 x 5 x 5 x 5. Ainsi x^s c'est juste le nombre x fois x fois x etc et ce s fois.
Mais si vous avez fait une Terminale scientifique (voire encore avant ?) vous savez aussi que s n'a pas besoin d'être un entier !
Si c'est un nombre rationnel ça fait des trucs avec des racines souvent, par exemple x^(1/2) c'est la racine carrée de x ! Mais encore plus généralement, s ça peut être n'importe quel réel ! Un réel qu'est-ce que c'est ? C'est simplement l'ensemble des nombres qu'on utilise "couramment" on va dire. 1, 7, 0.7567, 3.3333333..., pi. On définit effectivement x^s = exp(s*ln(x)). L'exponentielle exp et le logarithme népérien sont deux fonctions très utilisées en mathématiques, mais qu'on ne voit pas avant la Terminale. Par contre, que s soit rationnel ou réel quelconque, il faut ici que x soit positifs voire strictement positif, c'est important ! (Car ln(x) pour x négatif n'existe pas.) Mais on s'en fiche ici avec notre fonction ζ puisque ce sont des nombres positifs qu'on met à la puissance s.
Mais pourquoi s'arrêter aux réels ? Passons aux complexes ! Là les complexes on voit ça en Terminate S, peut-être dans d'autres filières aussi. Si vous ne savez pas ce que c'est, pas grave ignorez ce paragraphe. C'est quoi donc x^s avec s complexe ? Alors toujours x^s = exp(s*ln(x)). X étant toujours strictement positif pas de souci pour définir ln(x) ! Et l'exponentielle d'un nombre complexe c'est quoi ? Et bien plusieurs façons de voir les choses. Soit une autre somme infinie mais des sommes infinies dans d'autres ça risque de vous embêter donc on va dire que exp(z)=exp(Re(z))*exp(i*Im(z)) où Re(z) est la partie réelle de z et Im(z) sa partie complexe. Et c'est quoi exp(i*Im(z)) ? Et bien on voit ça en Terminale S et sinon c'est un peu plus galère à expliquer...


Voilà on a bien définit notre fonction maintenant et ce pour des s non entiers ! Vraiment ? Et non car c'est une somme à l'infini !
L'idée de sommer à l'infini doit être compréhensible, mais savoir ce que ça vaut c'est autre chose... Surtout que bah il y a des sommes à l'infini comme 1 + 2 + 3 + 4 + ... etc ça fait l'infini quoi. Nous on veut un résultat qui existe et qui est fini à la fin !
C'est alors la théorie des séries convergentes, quelque chose que l'on voit en première année de prépa scientifique. Je vais passer les détails mais vous dire que pour que la somme qu'on considère existe et soit finie, il faut que s > 1. Ca c'est si s est réel, mais si s est complexe il suffit que sa partie réelle soit strictement supérieure à 1.
Ainsi ζ(1), ζ(0), ζ(-4,6875) ça n'existe pas !
Mais ζ(1,00000001), ζ(6), ζ(79869) ça existe !
D'ailleurs, la somme à l'infini de l'inverse des carrés des entiers, c'est à dire 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 etc vaut ζ(2) = π²/6. π c'est pi, le fameux 3,14... etc. C'est un résultat culturel cool. Rien que pour vous, je vous donne ζ(4) = π^4/90.

De façon plus visuelle, voici donc un tracé de la fonction pour les réels strictement plus grands que 1 :

Vous pouvez voir le pic en 1, qui montre que ζ(1) n'existe pas et est infini.

Et voilà, c'est fini ! Vraiment ? Et non, car passons maintenant à un truc cool. Plus abstrait, plus compliqué (et par conséquent génial ?).

Vous savez probablement qu'une fonction, ce n'est pas une formule, non ? Pas besoin de formule pour définir une fonction, il suffit juste d'associer une valeur à chaque élément de l'ensemble de définition. Et ici on avait ]1;+[ comme ensemble de définition. Et si on l'allongeait à l'ensemble entier des réels ? C'est a priori bizarre car ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... etc. Et donc ça fait l'infini et on n'en veut pas ! Mais on va contourner le problème et définir ζ à tout le plan complexe même ! Enfin sauf à un irréductible nombre...

Prolonger une fonction, c'est juste dire que ça vaut quelque chose là où elle n'était pas définir. J'ai juste à dire qu'elle vaut 0 à peu près partout et c'est bon j'ai ma nouvelle fonction ζ définie partout. Je pose ζ(-1) = 0 et voilà très bien. Mais vous conviendrez qu'une méthode arbitraire n'est pas des plus intéressantes... Ce qu'on va donc chercher à faire, c'est prolonger ζ en conservant ses propriétés de continuité, mais surtout d'analycité. La continuité, c'est qu'on puisse la tracer d'une traite, sans lever le crayon dans un sens imagé. Une fonction analytique, c'est super puissant et cool. Et encore plus compliqué à avoir que la continuité donc. Mais si vous ne connaissez pas et bien admettez juste ça. C'est du programme de seconde année de prépa scientifique, et encore je ne suis pas sûr que le terme et au programme.
Et il se trouve que notre fonction ζ a le bon goût d'être analytique sur tout le demi-plan complexe tel que Re(s) > 1. Et on peut la prolonger en gardant cette propriété analytique sur tout le plan complexe ! Tout ? Et non partout sauf en 1.
Et ce qui est d'autant plus cool avec ce prolongement, c'est qu'il devient unique en tant que prolongement analytique. Grâce à la propriété d'analycité, et bien tous les autres prolongements analytiques seront identiques. Si vous n'avez pas compris ce n'est pas grave, ça veut dire en gros que c'est finalement une méthode très naturelle et légitime de prolongement qui va nous donner notre nouvelle fonction ζ.

En résumé, on peut à présent définir ζ sur l'ensemble des réels privé de 1, voire l'ensemble des complexes privé de 1.

Et qu'est-ce qu'elle donne notre nouvelle fonction ζ ? Et bien en un certain sens elle donne un sens à certaines séries divergentes. Je ne vous donne pas son expression c'est trop compliqué, admettez les résultats suivants. Mais déjà voici son tracé dans le plan complexe, avec ses parties réelles, imaginaires ou son module.

Normalement x et y (parties réelles et imaginaires de s) sont entre -15 et 15, je ne comprends pas leurs graduations. Le pic qu'on voit isolé au milieu c'est le pic pour s=1. Vers la droite c'est ζ pour Re(s) > 1 et à gauche pour Re(s)<1.
Si vous ne connaissez pas les complexes, pas de souci, mais c'est joli non ?

Un exemple : ζ(-1) = -1/12 à présent.
Mais si on prend l'ancienne fonction ζ, et bien ζ(-1) c'est la somme à l'infini de tous les entiers naturels...
Et bien alors en un certain sens, "1+2+3+4+5+6+7+... = -1/12" ! Notez bien les guillemets. Car la somme à l'infini des entiers naturels ça reste l'infini par les définitions usuelles des sommes. Notre fonction ζ ce n'est plus ça, elle a changé entre temps. Le résultat "1+2+3+4+5+6+7+... = -1/12" n'est qu'une sorte d'interprétation. Une interprétation notamment utile pour conjecturer des résultats qui feraient a priori intervenir la série divergente.
Et on peut faire plein d'autres trucs du genre.
Avec notre nouvelle définition de ζ, on trouve ζ(-2) = 0. C'est-à-dire "1+4+9+16+25+... = 0" !
En fait on a ζ(-2*k)=0 avec k entier plus grand que 1. On les appelle "zéros triviaux" la fonction ζ.

Mais il existe d'autres nombres z tels que ζ(z)=0. Et ces "zéros non triviaux"... semblent fortement liés aux nombres premiers ! Et à ce propos, la recherche en mathématique continue ! Un nombre premier n'étant divisible que par lui même et par 1 (et leurs opposés pour les plus précis d'entre vous). On a donc 2, 3, 5, 7, 11 etc qui sont premiers, mais pas 4 car 4=2*2, pas 6 car 6 = 3*2, pas 1 car ma définition est pas encore assez précise en fait mais la vraie l'exclut.
Mais un lien plus immédiat de avec les nombres premiers est cette formule, avec P l'ensemble des nombres premiers :


Parlons de 1. Car ζ(1), ça n'existe pas... ζ(1) ça serait la somme des inverse des entiers en quelque sorte. Ainsi, on ne pourra jamais faire 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... mais on pourra faire 1 + 2^1000 + 3^1000 + 4^1000 + ... C'est très peu intuitif non ?
Mais l'un de mes camarades de classe a regardé le développement asymptotique des sommes partielles de la série harmonique. Des mots compliqués si vous ne connaissez pas... vous pouvez passer ce paragraphe dans ce cas. La n-ième somme partielle de la série harmonique c'est justement . On ne va donc pas jusqu'à l'infini mais on s'arrête à un entier n. Son développement asymptotique consiste à regarder à quoi ressemble Hn quand n tend vers + en gros. Et on a alors

γ c'est un réel appelé la constante d'Euler.
Ce qui est étonnant, c'est que ζ(0) = -1/2, ζ(-1) = -1/12 et si on continue le développement une corrélation semble se préciser entre les coefficients de ce développement et les valeurs de ζ(-k) pour k entier.

Et pour finir, vous pouvez même dériver ζ. La dérivation on peut l'apprendre en première. Et si on évalue ζ' en 0 on obtient... ζ'(0) = -(1/2)*ln(2π). Ce qui après quelques manipulations formelles sans justifications donnerait que... le produit à l'infini de tous les entiers vaut racine carrée de 2π !

Voilà j'ai fini ! J'espère que je n'ai raconté aucune bêtise, n'hésitez pas à le signaler sinon. Mes sources sont juste mon cours de maths en fait. Les images je les ai prises sur Wikipedia / Wolfram Alpha. Par conséquent, comme sur Wikipedia, ça s'affiche mal sur certains appareils.


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Re: Sciences

Message par Zangoose le Dim 15 Jan - 12:46:41

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Re: Sciences

Message par Vifargent le Dim 15 Jan - 13:28:14

Wow, topic génial et post génial Lyr, voilà un coin que je risque de squater souvent !

Les complexes par contre ça se voit en TS, et uniquement en TS. C'est dommage, mais bon, c'est comme ça.
La dérivation, c'est première S/ES. Tu surestimes le niveau des élèves, Lyr. :b

Par contre du coup j'ai pas eu le niveau pour comprendre jusqu'au bout. %)
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Re: Sciences

Message par Lyr le Dim 15 Jan - 14:40:51

Pour la dérivation j'avais un doute mais les complexes il me semblait vraiment avoir vu ça en 1ère. Haha c'était il y a peu d'années mais tellement loin déjà %)
J'ai corrigé, merci beaucoup !
Par simple curiosité, tu es allé jusqu'où ? ^^
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Message par Il' le Dim 15 Jan - 14:53:45

Viens 0mega, aide moi à battre les mathémafag .
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Re: Sciences

Message par Vifargent le Dim 15 Jan - 15:45:37

Jusqu'aux tracés dans le plan complexe, ça et après, c'est d'un niveau supérieur au mien qui est assez modeste. ^^
En parlant de ça Il', je me demande si il y a des physiciens ici. %)
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Message par Lyr le Dim 15 Jan - 15:50:07

Personnellement j'ai envie de faire de la recherche en physique justement.
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Message par Vifargent le Dim 15 Jan - 16:01:17

Oh, wow, c'est méga cool ! Dans un domaine particulier ?
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Message par Lone Jackal le Dim 15 Jan - 16:03:06

Sympa ce topic ! Je me tate à étaler un peu mon savoir sur l'auto, faudrait que je prenne le temps de rédiger un post.

Et j'ai pris 5 ans dans la tronche avec la fonction Zeta, merci Lyr :v
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Message par Skychild le Dim 15 Jan - 16:04:57

Je sais pas ce que c'est et j'ai la flemme d'essayer de comprendre mais ça a l'air très chiant
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Message par Gazaret le Dim 15 Jan - 16:29:14

Au sujet de la fonction Zeta, précisons que la plus importante hypthèse actuellement en maths (ou l'une des plus importantes) est l'hypothèse de Riemann, qui dit justement que les zéros non triviaux de la fonction Zeta ont tous pour partie réelle 0,5. Celui qui réussira à prouver l'hypothèse (ou à montrer que c'est faux, ou à montrer que c'est indécidable) se verra remettre 1 million d'Euros car il s'agit d'un des 7 problèmes du millénaire (considérés comme les 7 plus grands problèmes en maths au début du XXI). Cette hypothèse date de 1859 et était déjà considérée comme très importante en 1900. C'est l'un des quelques problèmes de Hilbert (les problèmes que le mathématicien David Hilbert a énoncé comme étant les 23 problèmes irrésolus les plus importants en 1900) qui n'a toujours pas été résolu.
Voilà, ça c'est la petite anecdote, je m'y connais moins bien que lui donc je pourrais pas reprendre ce que Lyr a dit, mais beau travail quoiqu'il en soit!
EDIT : ça reprend certaines infos de Lyr, pour ceux qui préfèrent voir ça en vidéo.
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Message par Lyr le Dim 15 Jan - 16:55:19

Vifargent a écrit:Oh, wow, c'est méga cool ! Dans un domaine particulier ?
De la physique fondamentale. Genre physique des particules par exemple. Après je ne me borne pas trop dès maintenant, il faut déjà que j'arrive à aller dans cette voie ! Et pour faire de la physique, il faut des mathématiques !

Merci pour ces détails sur l'hypothèse de Riemann, je n'en avais que vaguement entendu parler, je vais aller voir tout ça ^^
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Re: Sciences

Message par Machu Pichu le Dim 15 Jan - 17:35:05

Tu surestimes le niveau des élèves

Non c'est juste que les programmes régressent de plus en plus, je sais que j'étais là dernière année ou on faisait des équations différentielles en terminale ce qui compliqué pas mal la tâche des premières années en prépa parce que c'est un truc qui est sensé être connu sans difficulté très tôt dans l'année. Donc ça m'étonnerait pas qu'un bon nombre de connaissances aient été reculées d'un an.

Et sinon qui veut que je parle d'amplificateur audio avec ses interpolateurs et ses modulations sigma delta ? :v Je peux aussi parler de convertisseur SAR si vous voulez, c'est mon projet du moment :v

(Mon domaine actuel c'est la micro et nano électronique c'est assez précis dc je pense pas que grand monde ait déjà étudié la même chose %) Tout ce que je me souviens qui était rigolo en prépa c'est genre les matrices de Van der monde, d'ailleurs je crois qu'on précise de moins en moins aux étudiants ce qu'est la nature intrinsèque d'une matrice, à savoir que c'est la représentation d'une application ce qui est dommage vu que c'est leur utilité même )
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Re: Sciences

Message par Kurotsuki le Dim 15 Jan - 17:44:29

Machu Pichu a écrit:d'ailleurs je crois qu'on précise de moins en moins aux étudiants ce qu'est la nature intrinsèque d'une matrice, à savoir que c'est la représentation d'une application ce qui est dommage vu que c'est leur utilité même

Tu entends parler des matrices en Term S à condition de prendre spécialité maths, et là pour le coup, on fait rien d'autre qu'apprendre à faire des calculs dessus. Rien de plus au lycée.

Par contre en prépa, là on les fait bien comme il faut et oui, on parle du lien avec les application linéaires, toute la partie est basée là dessus
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Re: Sciences

Message par Lyr le Dim 15 Jan - 17:52:25

Ah je croyais que ça avit disparu il y a encore plus longtemps les équations différentielles ^^
Et oui on parle bien des matrices comme applications linéaires en MPSI, on s'y ramène même beaucoup, avec l'isomorphisme entre les espaces des AL et des matrices pour prendre différents points de vue. Mais il est possible qu'en PCSI ils fassent autrement par exemple et voient moins en détail ce lien.
Et sinon la semaine dernière on a même vu le codage des formes bilinéaires par des matrices.
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Re: Sciences

Message par Vifargent le Dim 15 Jan - 18:05:16

Machu Pichu a écrit:Non c'est juste que les programmes régressent de plus en plus
A cause du niveau global des élèves en France, et pourtant c'est vrai, ils sont pas forcément les premiers fautifs, le programme cherche à être de plus en plus étendu et rentre de moins en moins dans la profondeur des sujets, en physique on est supposé faire un chapitre par semaine (3H de cours + 2H de TP) ce qui est juste une vaste blague. %)

Et les matrices, on... On fait des suites aussi avec ! Embarassed

Enfin, j'imagine que je suis pas très bien placé pour parler de tout ça, étant un élève moyen voulant de manière totalement suicidaire se lancer dans 5 ans d'études sup scientifiques :v

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Re: Sciences

Message par Kurotsuki le Dim 15 Jan - 18:15:43

Vifargent a écrit:étant un élève moyen voulant de manière totalement suicidaire se lancer dans 5 ans d'études sup scientifiques :v

GOGOGO !!
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Re: Sciences

Message par Machu Pichu le Dim 15 Jan - 18:53:23

Perso j'ai fait MPSI aussi donc ofc qu'on voit ce que c'est vraiment, après tout le nom de la filière c'est maths :v mais je me base surtout sur mon frère (actuellement en bcpst) qui calculé des déterminants, fait des pivots de gauss mais ne sait pas calculer un déterminant pour une taille quelconque et n'a pas vu ce que j'ai dit du coup j'ai un peu l'impression que c'est apprendre comment on tape avec un marteau sans te dire que ça sert à faire des meubles. Je connais pas les contenus des programmes pcsi actuels par contre.
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